"El juego de Nim"Solución
"El juego de Nim"
- Instrucciones
del juego: Dos jugadores: A, B, y 15 fichas distribuidas en 5 filas
de 1, 2, 3, 4, 5 fichas. (figura). El jugador que tiene el turno retira como
mínimo una ficha y tantas como quiera pero de una sola fila. Gana el jugador
que retira la última ficha.
- Estrategia Ganadora. Llamaremos situación del juego a cualquiera
de los estados en que pueden encontrarse las fichas en un cierto momento del
juego. Una situación es F Fatal si el jugador que se la encuentra pierde
siempre que el contrario sepa jugar. Para comprobar si una situación es Fatal
se hace lo siguiente:
- Pasa a notación binaria las filas.
- Suma* las columnas (suma* significa "sin llevarte", es decir, bit
a bit).
Propiedad Fundamental: Una situación es Fatal si la suma* de todas las
columnas es par . (Pasando la suma* a binario, sería 0 en todas las columnas).
Esta propiedad es equivalente a las dos siguientes:
1.- Desde
una situación No F, No Fatal siempre se puede entregar una situación Fatal al
contrario con un movimiento.
2.- Desde una situación Fatal no es posible entregar una situación Fatal con
un movimiento.
De esta forma una situación Fatal es realmente fatal pues el jugador que se
la encuentre no podrá salirse de ella si el otro sabe jugar.
- Ventaja: En
la situación inicial, suma*=223; la tercera columna es 3 impar, luego
es una situación No Fatal. El jugador que empieza tiene ventaja: si sabe
jugar, el que empieza ganará.
- Modificación
del anterior: Pierde el jugador que retira la última ficha. Es el mismo
juego pero con un final distinto.
- Estrategia
Ganadora: El juego Nim P sigue inicialmente la misma estrategia que Nim
G. Las situaciones Fatales son las mismas y el objetivo es dejar al contrario
en situación Fatal. La estrategia cambia en las últimas jugadas. En concreto
cuando se encuentren una de las siguientes situaciones (y siempre va a ocurrir):
- Un nº n impar de filas con 1 ficha y una fila "gorda" con más de una ficha. Es una situación No Fatal para Nim P (aunque sería Fatal para Nim G). La respuesta debe ser retirar todas las fichas de la fila "gorda". Y luego sacando de una en una se ganaría.
- Un nº n par (o ninguna) de filas con 1 ficha y una fila "gorda". Respuesta: retirar todas las fichas menos una de la fila "gorda".
Estas dos situaciones son ganadoras. Ninguna de ellas podrá alcanzarla el contrario que esté en situación Fatal, porque ambas son No Fatales. Pero llegados a ellas es necesario hacer los movimientos indicados.
- Ventaja: La
ventaja es del jugador que juega primero, si sabe jugar bien.
